elliptic curves

#elm
facebook twitter əjdaha lazımdı   googllalink

    1. eliptik əyrilər. fermatın son teoreminin isbatı üçün wiles tərəfindən istifadə olunmuşdur. isbat üçün bizə eliptik əyrilərlə yanaşı frey əyriləridə lazımdır. (bu arada frey riyaziyyatçı adıdır)

    fermat deyirdi ki an+bn=cn ifadəsi (bundan sonra teoremi) n>2 olduğu təqdirdə mümkünsüzdür. bunun isbatını yazmağı isə bizə layiq bilməmişdi. uzun illər sonra eliptik əyrilər ilə bu ifadə arasında bir əlaqə olduğu məlum oldu. başlayaq isbata,


    pifaqor teoremini bilirsiniz; a²+b²=c² , eynən buna bənzəyən ancaq n>2 şərtini ələ alan fermatın teoreminidə bilirik; a
    n+bn=cn. burada düz üçbucaqlar ilə eliptik əyrilər arasında bir bağ olduğunu düşünmək olar. bəs fermatın son teoreminin eliptik əyrilərlə əlaqəli olduğunu hardan bildik? eliptik əyrinin nəyə bənzədiyini google image imkanı ilə görə bilərsiniz. belə bir imkanım olmadığı üçün mən riyazi ifadəsini yazacam. bir eliptik əyriyə y²=x³+ax+b ifadəsinin həlli çoxluğu demək olar. burada eliptik əyri və düz üçbucaq arasında əlaqəni quracayıq; sizcə hər hansı bir "n" ədədi üçün kənar uzunluqları fərqli ancaq sahəsi n-ə bərabər olan bir düz üçbucaq var? var. məsələn, n=6 olduqda kənar ölçüləri ardıcıllıqla: 3, 4, 5 olan düz üçbucağın sahəsi verilən n-ə yəni 6'ya bərabər olacaq. bəs başqa? fermat yeni bir düstur kəşf edir (burda yaza bilməyəcəm təəssüf ki) və düstur ilə sonsuz sayda kənarları fərqli ölçülərdə və sahəsi verilmiş n ədədinə uyğun olan düz uçbucaqlar tapmaq mümkündür. fermatın tapdığı həmin düstur ilə eliptik əyrinin düsturu olduqca bənzər çıxır. əslində buna bənzər deməyək. fermatın tapdığı düstur bir eliptik əyri düsturudur. yəni düz üçbucaqları tanımlamaq üçün tapılan düstur elə eliptik əyri eynən düsturudur. bir eliptik əyri düsturu olan y²=x³-a²x ifadəsində y=0 olduğu təqdirdə fermatın o sonsuz sayda düz üçbucaqlı tapma düsturu mənasını itirir. yəni burda y>0 olmalıdır və fermatın düsturu bu düsturun kvadratından başqa bir şey deyil. beləliklə düz bucaqlılar və eliptik əyrilər arasında əlaqə olduğu kəşf edilir. bu əlaqə bilavasitə düz bucaqlılarla bağlı olan fermatın son teoreminin isbatı üçün eliptik əyriləri istifadə edə biləcəyimizə işarədir. hətta isbatın özünə çox yaxındır. nə dedik? dedik ki fermatın düz üçbucaqlılar üçün kəşf etdiyi düstur əslində bir eliptik əyri düsturuna bənzəyir. indi o həmin əyriyə baxaq. yəni fermatın düsturunun təsvir etdiyi eliptik əyriyə (bunuda göstərə bilməyəcəm. bu arada sözlükdə entry yazdığımız vaxt şəkil yükləmə imkanı geri qaytarılsa əla olar -* ). eliptik əyrinin həllərini (-1, 0), (0, 0), (1, 0) olaraq tapdıq. (sizdə tapın. əmin olun) aha, burda işə frey əyriləri girir. nədir frey əyriləri? eliptik əyrilər ilə frey əyriləri arasında fərq "modular" olub olmamaqlarıdı. "modular" nədir bəs? əyrilərin "modular" olub-olmaması 1986 cı ildə ribet teoremi tərəfindən ortaya atılıb. onun üçün isə buyur: (bax: modular curve). deməli, belə məlum olduki eliptik əyrilər "modular" olmalıdı. mütləq. bu nəticə shimura-taniyama teoremindən çıxdı. ancaq frey əyriləri "modular" deyildi. aha, belə çıxır fermatın aldığı düsturdan çıxan əyri "modular" deyil. ribet teoremindən çıxan və shimura-taniyana ilə uyğunlaşmayan isə bu idi: əgər fermatın son teoreminin həlləri olsaydı frey əyriləri eliptik əyri olmalı idi. ancaq ribet frey əyrilərinin "modular" olmadığını isbat etmişdi ancaq shimura-taniyanaya görə eliptik əyrilər "modular" idi. deməli, frey əyriləri "modular" ola bilməz və beləcə isbat hazırdır: fermatın son teoremi haqlıdır.

    haqlı olmasaydı frey əyriləri eliptik olardı ancaq açıq aşkar eliptik əyrilər "modular" freyd əriləri isə "non-modular" dır. bu ziddiyətdən doğan nəticə isə budur: fermat haqlıdır.

    teoremin isbatı bu idi. hansıki 300 ildir bütün görkəmli riyaziyyatçılar bu isbat üçün can çəkişib. andrew wiles'ın burda etdiyi şey shimura-taniyana problemini həll etmək oldu. o həll özü teoremin isbatını onun ovcuna qoydu.

    bu arada: bu isbat haqqında nə azərbaycan nə də türk dilində informasiya yoxdur internetdə. yəni ki əjdaha verməyən topdu -* (bax: şaka)


    not: adam bu isbat ilə fields mükafatı alıb. bizə bir əjdahanı çox görməyin.


sən də yaz!