fundamental qrup

1. topologiyada en cox istifade etdiyimiz anlayis. deyildiyi kimi fundamental qrup.

(baxma: topoloji feza)

x * boyuk X topoloji feza olsun. her hansi x ise bu topoloji fezada teyin olunan noqte. xett ucun * topology path : γ, γ` : [0,1]-->x beleki; γ(1)=γ'(0). γ∨γ' : [0,1]-->x

(γ∨γ')(t)=γ(2t) 0≤t≤1/2 olduqda ; (γ∨γ')(t)=γ'(2t-1) 1/2≤t≤1 olduqda

ℵ(x,x) x * boyuk X -de ve x noqtesinde, l, l' homotopikdir: l≅xl' ; ℵ(x,x) halqa coxlugu demek olar.

lt∈ℵ(x,x) t∈I

π(x,x) ℵ(x,x)/≅x

π1(x,x) - * x noqtesinde X qrupu fundamental qrup adlanir.

cox abstrakt qaldigi ucun bir nece numune verim : meselen bir cevrenin fundamental qrupunu tapaq; s^1={x∈r^2; [[x]]=1}; l x-e daxil olan bir dongu olsun. x∈s^1 belelikle π1(s^1,x) bir cevre ucun fundamental qrup olacaq.

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9f/Torus_illustration.png

-

bele bir torus ucun meselen fundamental qrupu tapa bilerik; v=d^2×s^1 torusun ozudur. d^2 - 2 disk adlanir. d^2={x∈r^2; [[x]]≤1} qisaca. v eslinde homotopik olaraq s^1-e beraberdir. yeni: π1(v)=π1(s^1)=⟨[b]⟩

bes bu 'b' isin icine niye girdi? b={b}×s^1, b∈∂v boundary adlanir ve ∂v=t^2=s^1×s^1

π1(t^2)=π1(s^1)×π1(s^1)=⟨[a]⟩×⟨[b]⟩ burda a-da bayaq b kimi ={a}×∂d^2 ve elbetteki a-da ∈s^1-e.

yeni bayaq hesablamaya daxil etdiyimiz a ve b eslinde halqalar * topologiya ingiliscesinde loops idi.

http://media-2.web.britannica.com/eb-media/58/96258-004-7747AF96.jpg

bele bir sey. bu fundamental qrup anlayisini biraz ireliledib puankare hipotezine apara bilerik meselen : n-kure ucun s^n={s^n+1; [[x]]=1} π1(s^n)={1} bu sade elaqeli kurenin riyazi terifidir eslinde. ve ya π1(x)={1}. burdan bele deye bilerik meselen: butun 3-manifoldlar s^3-ler ile * 3-kureler homoemorfikdir.

2. topologiyada ən çox istifadə olunan anlayış. deyildiyi kimi fundamental qrup.

(baxma: topoloji fəza)

x * topoloji fəza olsun. hər hansı x isə bu topoloji fəzada təyin olunan nöqtə. xətt üçün : γ, γ` : [0,1]-->x beləki; γ(1)=γ'(0). γ∨γ' : [0,1]-->x

(γ∨γ')(t)=γ(2t) 0≤t≤1/2 olduqda ; (γ∨γ')(t)=γ'(2t-1) 1/2≤t≤1 olduqda

ℵ(x,x) x'-də və x nöqtəsində, l, l' homotopikdir: l≅xl' ; ℵ(x,x) halqa çoxluğu adlanır.

lt∈ℵ(x,x) t∈ı

π(x,x) ℵ(x,x)/≅x

π1(x,x) - fundamental qrup adlanir.

çox abstrakt qaldığı üçün bir neçə nümunə verim: məsələn bir çevrənin fundamental qrupunu tapaq;

s^1={x∈r^2; [[x]]=1}; l x-ə daxil olan bir döngü (loop) olsun. x∈s^1 beləliklə π1(s^1,x) bir çevrə üçün fundamental qrup olacaq.

məsələn, belə bir torus üçün fundamental qrupu tapa bilərik;

v=d^2×s^1 torusun özüdür. d^2 - 2 disk adlanır. d^2={x∈r^2; [[x]]≤1} qısaca. v əslində homotopik olaraq s^1-ə bərabərdir. yəni: π1(v)=π1(s^1)=⟨[b]⟩

bəs bu 'b' işin içinə niyə girdi? b={b}×s^1, b∈∂v boundary adlanir və ∂v=t^2=s^1×s^1

π1(t^2)=π1(s^1)×π1(s^1)=⟨[a]⟩×⟨[b]⟩ burda a-da bayaq b kimi ={a}×∂d^2 və əlbəttə ki a-da ∈s^1-e.

yəni bayaq hesablamaya daxil etdiyimiz a ve b əslinde halqalar idi.

belə bir sey. bu fundamental qrup anlayışını biraz irəlilədib puankare hipotezinə apara bilərik məsələn : n-kürə üçün s^n={s^n+1; [[x]]=1} π1(s^n)={1} bu sadə əlaqəli kürənin riyazi tərifidir. və ya π1(x)={1}. burdan belə deyə bilərik ki; bütün 3-manifoldlar s^3-lər ilə homoemorfikdir.

fundamental qrup

Yalnız deyilsən!

Yalnız deyilsən!