törəmə

1. müəyyən bir funksiyanın bir nöqtədəki dəyişmə tezliyinə deyilir. törəmə əsas mənası başa düşülmədən hesablamalarda həvəslə istifadə olunan riyazi terminlərdən biridir. yazıma keçməmişdən aşağıdakı cümləyə nəzər yetirin:

--spoiler--

bütün kəsintisiz, hamar funksiyalar kifayət qədər xırda intervallarda xətti funksiyadır.

--spoiler--

bu cümlə entry boyunca mənim və törəməni başa düşmək istəyənin motivasiyası olmalıdır. əvvəlcə hamar və kəsintisiz funksiyanın nə olduğunu başa salım. adından da göründüyü kimi bu funksiyanın qrafikində kəsintilər, tullanmalar, künclər və s. yoxdur. bu link

şəkildə izah etməyə çalışmışam. ümid edirəm hamar və kəsintisiz deyəndə nəyi nəzərdə tutduğumu anladınız. başda diqqətinizə çatdırdığım cümlədən də nisbətən aydın olduğu kimi əvvəlcə xətti funksiyaların dəyişmə tezliyindən danışmaq lazımdır. funksiyanın dəyişmə tezliyini araşdırmaq üçün baxmaq lazımdır ki, a arqumenti +h qədər dəyişəndə funksiyanın dəyəri nə qədər dəyişir. başqa sözlə aşağıdakı nisbəti hesablamaq lazımdır.

[b(a+h)-b(a)]/[(a+h-a])

xətti funksiyalar üçün bu nisbətin cavabı həmişə sabit bir ədəddir və həmin funksiyanın qrafikinin meylliliyinə bərabərdir. bütün bunları bu link

şəkildə daha aydın görmək olur. diqqət edin yuxarıdakı düsturda şəkildə göstərilən şaquli və üfüqi parçaları bir birinə bölməkdən başqa bir şey etməmişəm. bu nisbətin tangensin tərifi olduğunu, ümid edirəm, çoxlarınız görür. tangens isə meyllilikdən başqa bir şeyi göstərmir.
indi isə başda yazdığım cümləni bir də yadımıza salaq:
--spoiler--

bütün kəsintisiz, hamar funksiyalar kifayət qədər xırda intervallarda xətti funksiyadır.

--spoiler--
bunun "sübutu" ya da nümayişi üçün də bu link

şəkilə baxa bilərsiniz. ümid edirəm bu da anlaşıldı. indi istənilən hamar kəsintisiz funksiya nöqtəsi üçün törəmə düsturunu yazaq və söz verdiyimiz kimi mümkün qədər xırda intervalda hesablamaq üçün h ədədini sıfıra doğru kiçiltməyə başlayaq. onda funksiyanın həmin nöqtədə törəməsini almış olarıq.

əlavə
sonda çoxlarının bildiyi bir funksiyanın törəməsini yuxarıda göstərdiyim yolla hesablamağa çalışacam.
f(x)=x^2 funksiyasına baxaq. çoxları bilir ki, bunun törəməsi f`(x)=2x-dir. yuxarıda bəhs etdiyim yolla bu nəticəyə gəlməyə çalışaq. x^2 funksiyası əyri bir xəttdir, parabol əyrisidir. yəni burda adi meyllilik hesablaması mənasızdır, amma kifayət qədər xırda intervalda funksiya xətti funksiyaya çevrildiyi üçün hesablaya bilərik. başlayaq

[f(x+h)-f(x)]/[(x+h-x])=[(x+h)^2-x^2]/h=[x^2+2xh+h^2-x^2]/h=2x+h

və sonda 2x +h ifadəsini alırıq. yadınıza salım ki, funksiyanın x nöqtəsində xətti olduğunu iddia etmək üçün mümkün qədər xırda intervala baxmaq lazım idi, və bunu da h ədədini sıfıra yaxınlaşdırmaqla gerçəkləşdirirdik. h ədədi sıfıra yaxınlaşdıqca o qədər kiçik olur ki, artıq nəzərə alınmır və nəticədə 2x ifadəsini alırıq. bu da bizim axtardığımız nəticədir.
not:
indi vaxtı olan, bekar olan x^3 funksiyasının törəməsini yuxarıdakı yolla hesablaya bilər. uğurlar.

2. harasa tələsirsiz və heç bir nəqliyyat vasitəsindən istifadə edə bilməzsiniz. deyək ki, 3 saat ərzində müəyyən bir yerdə olmalısınız. olduğunuz yerdən gedəcəyiniz yerə qədər məsafəni bilirsiz və sadəcə saatınız var, bir də arada bir getdiyiniz yerə nə qədər qaldığını göstərən işarələrə rast gəlirsiniz. 1 saat sonra qabağınıza o işarələrdən çıxdı deyək, buna baxıb bildiz ki, nə qədər yol qət etmisiniz, ən əsası hələ sizi qabaqda nə qədər yol gözləyir. eyni zamanda müəyyən edə bilirsiz ki, sizin hərəkət tempiniz vaxtında orada olmağa kifayət edəcəkmi, yəni ki siz hərəkət tempini dəyişməsəz növbəti iki saat ərzində də indi qət etmiş olduğunuz məsafənin iki qatını gedəcəksiniz. bu bəs edir yoxsa yox? əgər bu temp istədiyiniz vaxtda orda olmağa kifayət etmirsə, tempi artırmalısınız və ya kifayətdirsə yavaşıya bilərsiz. lakin sual odur ki, istədiyinizi əldə etmək üçün tempinizi nə qədər artırmalı və ya azaltmalı, bir sözlə dəyişməlisiniz? indi bunun ümumi şeylərini götürüb qalan şeyləri ataq qırağa. bir məqsəd var (verilən misalda qət etməli olduğunuz məsafə) - hər hansısa bir məqsədə çatanda dayanacaqsınız, bu məqsədə çatıb-çatmadığınızı və ya nə qədər yaxın olduğunuzu sizə xəbər verən göstəricilər var (yoldakı nişanələr və saat), bir də sizin bu gedişata təsir edə biləcək hər hansl bir vasitəniz var (sürətiniz), hansı ki, sizə xəbər verən göstəriciləri bilavasitə dəyişəcək olan yəni onları özündən asılı edən bir vasitə. haşiyə: bu vasitə arqument, dəyişdiyi kəmiyyət isə onun funksiyasıdır. sualı da yenidən verəsi olsaq vasitəni necə dəyişim ki, məqsədim olan ədədi vaxtında ala bilim? müdaxilə etmədən təbii proseslər üçünsə sual odur ki, arqument filan qədər dəyişəcək olsa, ondan asılı olan funksiya necə dəyişər? bu kimi sualların cavabını verən riyazi anlayışa törəmə deyilir. hesablanmasına gələndə verilmiş nümunədə zaman keçir, deyək ki, tempinizi dəyişirsiz. müəyyən zaman intervalında temp dəyişməsi var və bu artıq tempinizdən hərəkət tezliyinizi göstərən yeni bir kəmiyyət törədi deməkdir. yəni ki bu yeni kəmiyyət sizə deyir ki, siz vahid zaman intervalında tempinizi nə qədər dəyişmisiniz. riyazi əməllərlə bunun yazılışı df/dt-dir, harada ki, d dəyişmənin göstəricisidir deltadan gəlir, df tempinizdəki dəyişmə, dt bu dəyişməni hansı zaman intervalında əldə etdiyinizdir. (ümumi funksiyanın artımı / arqument artımı) qısa olsun deyə də df/dt əvəzinə f ' kimi yazılır. riyazi olaraq dəqiq tərifi üçün limit anlayışını bilmək lazım gəlir ki, arqumentə verilən artım sıfıra yaxınlaşanda (olduqca kiçik sıçrayışlar üçün) funksiyanın necə dəyişəcəyini müəyyən edib kəsilməz funksiya üçün istənilən nöqtədə törəməni hesablaya biləsiniz.

törəmə

Yalnız deyilsən!

Yalnız deyilsən!