--spoiler--
bütün kəsintisiz, hamar funksiyalar kifayət qədər xırda intervallarda xətti funksiyadır.
--spoiler--
bu cümlə entry boyunca mənim və törəməni başa düşmək istəyənin motivasiyası olmalıdır. əvvəlcə hamar və kəsintisiz funksiyanın nə olduğunu başa salım. adından da göründüyü kimi bu funksiyanın qrafikində kəsintilər, tullanmalar, künclər və s. yoxdur. bu
şəkildə izah etməyə çalışmışam. ümid edirəm hamar və kəsintisiz deyəndə nəyi nəzərdə tutduğumu anladınız. başda diqqətinizə çatdırdığım cümlədən də nisbətən aydın olduğu kimi əvvəlcə xətti funksiyaların dəyişmə tezliyindən danışmaq lazımdır. funksiyanın dəyişmə tezliyini araşdırmaq üçün baxmaq lazımdır ki, a arqumenti +h qədər dəyişəndə funksiyanın dəyəri nə qədər dəyişir. başqa sözlə aşağıdakı nisbəti hesablamaq lazımdır. [b(a+h)-b(a)]/[(a+h-a])
xətti funksiyalar üçün bu nisbətin cavabı həmişə sabit bir ədəddir və həmin funksiyanın qrafikinin meylliliyinə bərabərdir. bütün bunları bu
şəkildə daha aydın görmək olur. diqqət edin yuxarıdakı düsturda şəkildə göstərilən şaquli və üfüqi parçaları bir birinə bölməkdən başqa bir şey etməmişəm. bu nisbətin tangensin tərifi olduğunu, ümid edirəm, çoxlarınız görür. tangens isə meyllilikdən başqa bir şeyi göstərmir. indi isə başda yazdığım cümləni bir də yadımıza salaq:
--spoiler--
bütün kəsintisiz, hamar funksiyalar kifayət qədər xırda intervallarda xətti funksiyadır.
--spoiler--
bunun "sübutu" ya da nümayişi üçün də bu
şəkilə baxa bilərsiniz. ümid edirəm bu da anlaşıldı. indi istənilən hamar kəsintisiz funksiya nöqtəsi üçün törəmə düsturunu yazaq və söz verdiyimiz kimi mümkün qədər xırda intervalda hesablamaq üçün h ədədini sıfıra doğru kiçiltməyə başlayaq. onda funksiyanın həmin nöqtədə törəməsini almış olarıq. əlavə
sonda çoxlarının bildiyi bir funksiyanın törəməsini yuxarıda göstərdiyim yolla hesablamağa çalışacam.
f(x)=x^2 funksiyasına baxaq. çoxları bilir ki, bunun törəməsi f`(x)=2x-dir. yuxarıda bəhs etdiyim yolla bu nəticəyə gəlməyə çalışaq. x^2 funksiyası əyri bir xəttdir, parabol əyrisidir. yəni burda adi meyllilik hesablaması mənasızdır, amma kifayət qədər xırda intervalda funksiya xətti funksiyaya çevrildiyi üçün hesablaya bilərik. başlayaq
[f(x+h)-f(x)]/[(x+h-x])=[(x+h)^2-x^2]/h=[x^2+2xh+h^2-x^2]/h=2x+h
və sonda 2x +h ifadəsini alırıq. yadınıza salım ki, funksiyanın x nöqtəsində xətti olduğunu iddia etmək üçün mümkün qədər xırda intervala baxmaq lazım idi, və bunu da h ədədini sıfıra yaxınlaşdırmaqla gerçəkləşdirirdik. h ədədi sıfıra yaxınlaşdıqca o qədər kiçik olur ki, artıq nəzərə alınmır və nəticədə 2x ifadəsini alırıq. bu da bizim axtardığımız nəticədir.
not:
indi vaxtı olan, bekar olan x^3 funksiyasının törəməsini yuxarıdakı yolla hesablaya bilər. uğurlar.