kakeyanın verdiyi sual olduqca bəsit idi. bir düz xətti (line segment) öz ətrafında 180 dərəcə döndərmək üçün gərəkli olan minimum sahə nədir? kakeya bu sualın cavabının bir deltoid olduğunu və dolayısı ilə minimum sahənin π/8 ≈ .393 olduğunu düşünürdü. bu arada bir düz xəttin (line segment) tam 180 dərəcə ətrafında dönə bildiyi və evklid fəzasının altfəzası olan çoxluğa da kakeya çoxluqları deyilir.
məsələn qapalı top (closed ball b(0, 1/2)) kakeya çoxluğudur, çünki bir segmenti bu fiqurun içində 360 dərəcə döndərə bilərik.
bəs yaxşı kakeya çoxluğu nə qədər kiçik ola bilər? rusiyalı riyaziyyatçı besicovitch kakeyanın bu sualından xəbərsiz bir şəkildə göstərir ki, tələb olunan sahə istənilən qədər kiçik ola bilər, hətta besicovitch sıfır lebeq ölçülü kakeya çoxluqları belə qurur. sıfır sahəyə sahib olan kakeya çoxluqları da qurmaq mümkündür. dolayısı ilə bir segmenti 360 dərəcə öz ətrafında döndərmək üçün istənilən qədər kiçik sahəni götürmək olar.
bayaq da qeyd etdik; d ölçülü evklid həndəsəsinin altçoxluğu olan k-ya o zaman kakeya çoxluğu deyirik ki; öz içində bütün istiqamətlərə uzanan düz segmentlər ehtiva etsin. kakeya çoxluqları lebeq ölçüsündən də kiçik ola bilər mi? sual verilə bilər ki nə qədər kiçik? halbuki riyaziyyatda fraktal ölçüsü anlayışı var, və dolayısı ilə kakeya çoxluğu fraktal ola bilər, bəs kakeya çoxluqlarının ölçüsünü necə bilə bilərik?
klassik ölçü anlayışının fraktallara tətbiq oluna bilməməsi səbəbilə fraktalları ölçüləndirmək üçün hausdorff, minkovski kimi ölçülərdən istifadə olunur. ən sadəsi minkovski ölçüsü adlanır (digəri hausdorff) bəs kakeya çoxluqlarını fraktal ölçüsü (minkowski/hausdorff) nədir? kakeya hipotezinə görə kakeya çoxluğunun ölçüsü altçoxluğu olduğu evklid fəzasının ölçüsünə bərabərdir. məsələn, üç ölçülü evklid fəzasında kakeya çoxluğunun fraktal ölçüsü də üçdür, n ölçülü evklid fəzasında da n-dir. 1971 ci ildə roy davies bunu 6-7 səhifəlik məqalədə d=2 şərti üçün isbat edib, okay, amma üst ölçülərdə (n bərabər və böyükdür 3) hipotez uzun illərdir isbat edilə bilmir,
ən vacib nəticəni 90larda sevdiyim analizçi tom wolff isbat edir amma o da bir neçə il sonra avtomobil qəzasında vəfat edir, digər bu sahədə çalışanlar isə terence tao, bourgain kimi filds medalçılarıdır. bu problemin riyaziyyatın ən gözəl problemi olmasına inanma səbəbim isə heç əlaqəsiz görünən onlarla fərqli riyaziyyat sahəsini bir-biri ilə əlaqələndirməsidir, məsəsələn, kombinatorika, harmonik analiz, ədədlər nəzəriyyəsi və sairə. ən son bourgain ədədlər nəzəriyyəsində bu problemlə tamam dəxlisiz bir teoremi əlaqələndirmiş və təzə nəticələr əldə etmişdi. maraqlananlar terry tao-nun recent progress on kakeya conjecture çıxışını oxuya bilər. bəsit görünən sualın riyaziyyatın ən ali sahələri ilə əlaqələndirildiyini və yüz ildir bu əlaqənin hər gün daha da təəccübləndirdiyini göstərir bu hipotez. harmonik analizdə isə tam olaraq anlamadığım furye problemi ilə əlaqəsi var. (o mövzunu bilmirəm təəssüf ki) amma siz öyrənmək istəsəz ias (inst.advanced study) tərəfindən keçirilən bu leksiyaya baxa bilərsiz: https://video.ias.edu/sites/video/files/ıasrestriction4.pptx mənbələr: https://en.wikipedia.org/wiki/kakeya_set http://www.mcs.st-and.ac.uk/~jmf32/talk_birmingham.pdf https://terrytao.files.wordpress.com/2009/08/kakeya.pdf
bu problem üzərində çalışan riyaziyyatçılardan olan filds medalçısı j. bourgain keçən ilin yanvarında vəfat edib.