1. yanlış kimi görünsə də doğrudur. bunun üçün iki çoxluğa baxmalıyıq: rasional və irrasional ədədlər çoxluqları.
iki çoxluğun bir birinə bərabər olduğunu nə vaxt deyirik? ikisində də eyni sayda element olduqda. əslində daha da sadə: birinci çoxluqdakı hər bir elementi ikinci çoxluqdakı bir elementlə uyğunlaşdıra biliriksə, deməli çoxluqlardakı element sayı bərabərdir. məsələn iclaz zalının tam dolduğunu biliriksə deməli oturacaq və tamaşaçı sayı bərabərdir.
rasional və irrasional ədədlər çoxluqlarındakı elementləri də belə etmək istəyiriksə əvvəlcə onların siyahısnı çıxarmalıyıq. rasional ədədlərin siyahısını çıxarmaq rahatdı: onları kəsr kimi göstərməklə
1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 ....
2/1 2/2 2/3 2/4 2/5 2/6 ....
3/1 3/2 3/3 3/4 3/5 3/6 .... və s. beləcə bütün rasional ədədlərin çoxluğunu alırıq.
indi irrasional ədədlərin siyahısını çıxaraq. əslində bu mümkün deyil. çünki verilən hərhansı siyahıda olmayan irrasional ədəd tapmaq olar. məsələn deyək ki sizin belə bir siyahınız var və bütün irrasional ədədlərin olduğunu iddia edirsiz:
1.234231241335238523934813483195.....
1.24538423021242914948713481397.....
1.2342393503823523905307573224... və s. mən bu siyahıda olmayan bir irrasional ədəd hər zaman tapa bilərəm. məsələn, sənin verdiyin hərhansı bir irrasional ədədə baxıram, deyək ki, bu birinci olsun. mən onun hər həddinə baxıram, harda 1 varsa mən də ona uyğun gələn hədd yerinə bir yazıram. yox əgər birdən fərlqlidirsə onda 2 yazıram.
1.234231241335211523134813483195..... --------- 1.222221221222211222122212222122....
göründüyü kimi yeni bir irrasional ədəd alındı və bu sənin siyahında yoxdu. əgər varsa da indi də həmin ədədə buna bənzər dəyişiklik edəcəm və yenə yenisin alacam. o vaxta qədər ki sənin siyahında həmin irrasional ədəd olmasın.
bu da irrasional ədədlərin siyahısını tuta bilməyəcəyimizi və rasional ədədlərdən daha çox olduğunu göstərir.
bu fikri 19-cu əsrdə georq kantor "set theory" adı ilə sübut etmişdi. amma dövrün alimləri onun fikrini yanlış hesab etmiş, onun hətta şəxsinə də təsirlər göstərmişdilər. bunun nəticəsində o ağır depressiyalar keçirmiş, ömrünün ikinci yarısında dəlixanalara girib-çıxaraq keçirmişdi. indi isə onun bu düşüncələri elm tərəfindən qəbul olunur və universitetlərdə tədris olunur.
(baxma: georq kantor )
(baxma: set theory)