1. riman inteqralının ümumiləşmiş formasıdır.

deməli, riyaziyyat mücərrədləşməyə başladıqca riman inteqralı kimi intuitiv olan şeylər bir növ yararsızlaşır və nəzəriyyələrin inkişafı üçün ideya odur ki, əvvəlki intuitiv olan anlayışın ən vacib xüsusiyyətləri aksiom olaraq doğru qəbul edilir, bu aksiomları ödəyən istənilən riyazi obyekt onun əvəzedicisi olaraq işlədilir. lebeq interalı da bunlardan biridir.

başdan başlasaq, deməli riman inteqralı hesablananda absis oxundakı intervalı n hissəyə bölürdük və funksiyanın seçilmiş bir nöqtədəki qiymətini vururduq o hissənin uzunluğuna. ancaq bunu edərkən əvvəlcədən bildiyimiz, lakin gün kimi aydın olduğu üçün diqqət etmədiyimiz nüanslar var; məsələn funksiyanın təyin oblastı, başqa sözlə x-lər çoxluğu ədəd oxu üzərində göstərilə bilən çoxluqdu, belə ki, ixtiyari bir çoxluq deyil. bu o deməkdir ki, riman inteqralını hesablaya bilmək üçün bizə ilk növbədə bu çoxluğun həndəsi yerinin * topologiyasının olması vacibdir. ikinci növbədə biz axı ədəd oxu üzərində * bir ölçüdə iki nöqtə arasındakı məsafəni hesablaya bilirik; çox asanlıqla görürük ki, sonrakından əvvəlkini çıxsaq məsafəni alırıq. digər tərəfdən bilirik ki, riyazi bir obyekt kimi çoxluq ixtiyari elementlər yığınıdır. bunu ələ alaraq fərz edək ki, bizim funksiyamız elə bir çoxluqda təyin olunub ki, bu çoxluq nizamsızdır və onu heç bir yer anlayışı ilə təsvir edə bilmirik. deməli məsafə anlayışımız da intuitiv olaraq yoxdur. beləcə biz rimanın ifadə etdiyi mənada inteqral anlayışını bu kimi funksiyalar üçün genişləndirə bilmirik.

lakin lebeq deyib ki, biz elə rimanın baxdığı o ən sadə halda başqa bir yanaşmadan istifadə edib onu bu dediyim tip istənilən funksiya üçün genişləndirə bilərik. bu isə o demək idi ki, inteqral anlayışı artıq yer anlayışı olmadan inkişaf etdirilə biləcəkdi. lebeqə görə absis oxunu n hissəyə bölməkdənsə, ordinat oxunu bölmək və ordan ixtiyari bir y' seçib onu absis oxunda bu hissəyə uyğun gələn, yəni y-i bu hissədə yerləşən intervalın uzunluğuna, daha dəqiq ölçüsünə vurub hər belə üfüqi formada üst-üstə yığılmış düzbucaqlının sahəsini alıb sonra da eyni ilə riman kimi davam edə bilərik. nb: riman inteqralında düzbucaqlılar şaquli yan-yana düzülmüş idi.

bu növ yanaşma nəyə görə əlverişli idi bəs? ona görə ki, bu yanaşma ilə biz abstrakt anlayışları daha asanlıqla qəbul edə bilərdik. deməli, f-in seçilmiş bir qiymətini onun tərs funksiyasının qiymətlər çoxluğunun ölçüsünə vurub toplayırıq. bunun üçün bizə ölçüləbilən bir funksiya və ölçü anlayışı lazımdır. ölçüləbilən funksiya odur ki, ona uyğun x-lər üçün mücərrəd mənada yer düzəldə bilirik, hansı ki bizə bir növ məsafəni ölçmək üçün şərait rolunu oynayır. bu məqsədlə ölçüləbilən fəza və cəbr kimi abstrakt anlayışlar daxil edilir. bəs ölçü və yaxud abstrakt mənada məsafə? intuitiv olaraq məsafə mənfi ola bilməz, a nöqtəsindən b-yə qədər olan məsafə elə b-dən a-ya qədər olan məsafəyə bərabərdir və üçbucağın istənilən iki təpə nöqtəsi arasındakı məsafə digər iki tərəfin uzunluqları cəmindən kiçikdir. bu üç şərti ödəyən istənilən funksiyanı/qaydanı yeni çoxluğumuz ölçüləbilən olduğu halda, ondan seçilən istənilən elementlər cütü üçün artıq ölçü olaraq qəbul edə bilərik. bu da olur mücərrəd ölçü anlayışı. beləliklə də, lebeq inteqralı istənilən fəzada, istənilən növ yer anlayışında inteqraldan istifadə etməyi mümkün etmiş oldu.