Fürye analizi hər hansısa bir funksiyanın və yaxud əyrinin triqonometrik və yaxud üstlü funksiyanın cəmi şəklində göstərmə şəkillərinin tədqiqidir. 2 növ Fürye açılımı mövcuddur: Fürye sıraları - hansı ki, periodik funksiyaların diskret triqonometrik və ya üstlü funksiyaların cəmi şəklində göstərilməsini araşdırır və Fürye çevrilmələri - hansı ki periodik olmayan funksiyaları triqonometrik və yaxud üstlü funksiyaların cəminin kəsilməz inteqralı şəklində göstərməyə çalışır. Əsası fransız riyaziyyatçı Cozef Fürye (joseph fourier) tərəfindən qoyulmuşdur. Fürye müşahidə etmişdir ki,müəyyən qalınlığı olan lövhədən ötürülən istiliyin miqdarı onun qarşı səthlərindəki temperaturla mütənasibdir. Bunu riyazi şəkildə formulizasiya edərək, istilik keçirmənin Fürye qanunu yaratmışdır. Bu problem zamanı alınan differensial tənliyi isə Fürye sıraları ilə həll etmişdir. Hal-hazlırda elmin və texnologiyanın bir çox sahələrində Fürye analizindən çox geniş bir şəkildə istifadə olunur: rəqəmsal siqnalların emalında (Digital Signal Processing), şəkil emalında (image processing), differensial tənliklərin həllində, kriptoqrafiyada, ədədi üsullar sahəsində (numerical analysis) və s.
Periodik funksiyalar üçün Fürye sıralarının hesablanması inteqral eyniliklərə əsaslanır. Sinus və kosinus funksiyaları arasında əlaqəni göstərən həmin eyniliklər ortoqonallıq eynilikləri adlanır. Aşağıdakı şəkildə verilmişdir:
Bu nəticələr triqonometrik funkiyaların hasillərinin cəmə çevrilmə qaydasına əsasən tapılır.Aşağıdakı şəkillərdə göstərilmişdir hər birinin necə əldə olunması:
Fürye sıraları aşağıdakı tənlikdən sintez olunur:
Bu tənlik funksiyanı müəyyən əmsalları olan triqonometrik funksiyaların cəmi şəklində göstərir.
Ardınca isə aşağıda gördüyünüz Eyler düsturundan istifadə olunur:
Sonda yuxarıda verilən düsturlarla aparılan sadələşdirmələrdən sonra, hər bir əmsal aşağıdakı düsturlarla tapılır:
Yuxarıda yazılan formulları əyani olaraq aşağıdakı şəkillə xarakterizə etmək olar:
Mənbə.
https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_analysis
https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_series
(youtube: 
)
)http://www.people.fas.harvard.edu/~djmorin/waves/Fourier.pdf
http://www.stumblingrobot.com/2015/08/06/prove-the-orthogonality-relations-for-sine-and-cosine/