1. adını 26 yaşında vərəm xəstəliyindən vəfat edən niels henrik abel'dən alan qruplar. qalua və abel eyni sahə haqqında düşünürdülər, eyni taleyi yaşadılar və hər ikisi gənc öldü.

abelian qruplar başqa bir deyimlə ring olaraq adlandırılır. abelian qrupa a* deyək və tərifini verək; a*'nın abelian olması üçün a€a*, b€a* olduğu halda c=a•b ifadəsində c€a* olmalıdır. (burda "•" hər hansı bir operatordur); ifadəyə daxil olan və ifadənin içində olan bütün ədədlər qrupa daxil olmalıdır. bu mütləq qaydadır. c•(a•b)=(c•a)•b isə ikinci qaydadır. abelian qrupa daxil olan hər üç ədəd arasında bu qanunauyğunluq olmalıdır. üçüncü qayda; e•a=a•e=e. digər bir önəmli qanun isə qrupa daxil olan a və b ədədlərinin yer dəyişdirə bilməsidir. a•b=b•a.

bu şərtləri ödəyən qruplara abelian qruplar deyilir.