teoremə görə hər n-ölçülü riemann çoxobrazlısı (manifoldu) müəyyən şərtlər altında n-ölçülü evklid fəzasına yerləşdirilə bilər. həmin şərtlər n ölçülü evklid fəzası üçün r^n, n=max{sn + 2n, sn + n + 5}. burda sn=n(n + 1/2).
j. nashın isbatı o qədər qarmaqarışıqdır ki və hətta göndərdiyi jurnalın editorlarının belə başa düşmədiyi mürəkkəbliyə sahibdir ki, 1991-ci ildə matthias gunther daha bəsit bir isbat tapır və həmin isbat üç hissədən ibarətdir. nashın metodu sonralar moser tərəfindən fəza mexanikasına, richard hamilton tərəfindən isə riççi axışlarının yeganəliyini isbatlamaq üçün tətbiq olunub. bugün həmin metod nash-moser metodu adlanır.
bir iki tərifi verim sonra keçək isbatı formalaşdıran üç əsas teoremə.
riemann çoxobrazlısı (m^n, g kimi tərif olunan bir çoxobrazlıdır). (baxma: çoxobrazlı)
burda g riemann metrikidir . (baxma: metrik) (baxma: riemann metriki)
xətti cəbrdən bildiyimiz map və ya inikas anlayışı- u: m^n → r^q,
dudu=g (riemann metriki)
u = (u^1, ..., ^uq)
(du^1^2+....+(du^q)^2=g)
metriki koordinat sisteminin köməyi ilə yazsaq: g = σni,j=1gijdxidxj və b1 ⊂ r^n
σqk=1∂iu^k∂ju^k=gij 1 ≤ i ≤ j ≤ n b1-də
sn=n(n+1/2) isə janet ölçüsü adlanir.
guntherin isbatı aşağıdakı üç əsas teoremi isbatlamaqdan ibarətdir.
teorem 1: əvvəlcə istənilən analitik n-ölçülü riemann çoxobrazlısının analitik olaraq r^sn evklid fəzasına izometrik şəkildə yerləşdirilə bildiyi isbat edilir. (lokal)
teorem 2: istənilən hamar n-ölçülü riemann çoxobrazlısının hamar olaraq r^sn+n evklid fəzasına izometrik şəkildə yerləşdirilə bildiyi isbat edilir. (lokal)
teorem 3: nəhayət istənilən hamar n-ölçülü riemann kompakt çoxobrazlısının hamar olaraq r^q evklid fəzasına izometrik şəkildə yerləşdirilə bildiyi isbat edilir. burda q=max{sn + 2n, sn + n + 5}
ətraflı:
http://www.math.mcgill.ca/gantumur/math580f12/siyuan.lu.pdf
https://en.wikipedia.org/wiki/Nash_embedding_theorem
nashın öz məqaləsi üçün: https://www.jstor.org/stable/1969989