yazı qismən texniki və uzun olduğundan ilk öncə hər kəsə maraqlı ola biləcək məlumatı bildirmək istəyirəm ki, "ümumdünya səhiyyə təşkilatı " "covid-19" pandemiyası ilə əlaqədar olaraq, martın 3-ə kimi əldə olunan statistika və riyazi modellər əsasında, belə proqnozlaşdırır ki, əgər vəziyyət belə davam edər və lazımi tədbirlər - karantin, vaksinasiya, antiviral dərmanlar, dezinfeksiya və s. görülməzsə, epidemiya ən pik həddinə mayın 23-də çatacaq və yoluxmuş şəxslərin sayı 425.066 milyon olacaq və həmin gündən etibarən isə yoluxanların sayında azalma müşahidə olunacaq. Artıq sentyabrın 14-ü həmin gün üçün yoluxanların sayı 10 000 olacaq. Daha ətraflı məlumat üçün bu hesabata müraciət edə bilərsiniz: hesabat
infeksion xəstəliklərin riyazi modellərini quraraq, irəli sürülən hipotezlər və əldə olunan ilkin məlumatların əsasında xüsusi parametrlər əldə edərək epidemiyanın gedişatını və onun qarşısını almaq üçün görülən xüsusi tədbirlərin (vaksinasiya, karantin, antiviral dərmanlar) müvəffəqiyyətini proqnozlaşdırmağa kömək edən riyaziyyat və epidemiologiyanın kəsişməsində yerləşən elm (discipline). Tarixinə nəzər yetirsək görərik ki, ilk dəfə demoqrafiyanın əsasını qoyan, hətta ilk epidemioloq hesab olunan John Graunt tərəfindən müəyyən nəzəriyyə (ölmə səbəblərini görə insanları qruplaşdırıb, əldə olunan statistikanı analiz edərək) yaradılmağa çalışılıb. Ancaq ilk model 1760-cı ildə çiçək epidemiyasını analiz etmək üçün riyaziyyatçı Bernulli tərəfindən təklif olunub. Hal-hazırda ən çox istifadə olunan model isə 1927-ci ildə McKendrick və Kermack tərəfindən yazılan elmi məqalədə təklif olunan sir modelidir. Bundan əlavə onlar bu məqalənin davamı kimi 1932 və 1933-cü illərdə daha 2 məqalə nəşr etdirərək Kermack–McKendrick nəzəriyyəsinin əsasını qoyublar. Nəzəriyyənin irəli sürdüyü hipotez budur ki, təklif olunan epidemioloji model vasitəsilə müəyyən zaman kəsiyində yayılmaqda olan inkefsion xəstəliyə yoluxmuş şəxslərin sayını və bu zaman müddətində yoluxanların necə paylanmasını proqnozlaşdırmaq mümkündür. Eyni zamanda qeyd edim ki, onların təklif etdiyi model kompartmental model adlanır, yəni bu tipli modeldə əlinizdə olan statistikanı oxşar xüsusiyyətlərə görə qruplaşdırıb, həmin qruplar arasında əlaqəni təyin etməyə çalışırsınız.
istifadə olunan modellər əsasən stoxastik və deterministik olmaqla 2 yerə bölünür. Sadə yolla izah etməli olsaq, stoxastik modeldə əldə olunan nəticələr müəyyən ehtimal aralığında olur, ancaq deterministik modellər diskret nəticə verir və yüksən xəta payı olur. Epidemiyanın gedişi zamanı əldə olunan ilkin məlumatlar nə qədər çox olarsa, determinsitik modelin verdiyi nəticələr daha dəqiq olur. Ümumilikdə bu yazıda sadəlik üçün epidemoloji modeli deterministik şəkildə fərz edərək, modeli adi differensial tənliklər üzərindən izah etməyə çalışacam.
infeksion xəstəlikləri izah edən ən sadə model SiR modeli adlanır. Digər daha mürəkkəb modellər də mahiyyət etibarilə bu model üzərində qurulur, ancaq nəzərə alınan parametr sayı daha çox olur. (parametr sayı nə qədər çox olarsa dəqiqlik bir o qədər artır)
SiR akroniminin açılışı (suspicious, infected, removed or recovered)-dir.
s - şübhəlilərin sayını,
i - yoluxanların sayını,
r - isə sağalanların və yaxud ölənlərin sayını ifadə edir.
Burada s, i, r əslində hər biri yuxarıdakı xüsusiyyətlərə görə qruplaşdırılmış şəxslərin zamana görə sayını göstərən funksiyalardır. Bu şəkildə yazılması daha doğrudur:
Model aşağıdakı adi differensial tənliklərdən ibarət sistemidir:
indi isə modelin nə üçün belə qurulduğunu izah etməyə çalışım:
birinci tənliyin birinci hissəsi şübhəlilərin dəyişimini ifadə edir və ikinci hissəsi isə bu dəyişimin asılı olduğu ifadəni göstərir. Bu ifadə β (beta-yoluxuculuq əmsalı) ilə müəyyən zaman anında olan şübhəlilərin sayının yoluxanların sayına hasilinə bərabərdir. Belə olmasının əsasə səbəbi budur ki, şübhəlilərin və yoluxanların hasili bizə mümkün bütün təmasların sayını göstərəcək. Belə ehtimal olunur ki, şəxslərin şübhəli haldan yoluxmuş hala keçməsinin əsas səbəbi, onlar arasında baş verən təmaslar və həmin xəstəliyin yoluxuculuq əmsalından asılıdır (müxtəlif xəstəliklər üçün bu əmsal fərqli olur, və ilkin əldə olunan "data"-ya əsasən hesablanır). Mənfi işarəsi isə şünhəlilərin sayının azalmasını ifadə edir.
ikinci tənliyə keçməmişdən öncə üçüncü tənliyi izah etmək daha məqsədə uyğundur. Üçüncü tənlik sağalanların dəyişim sürətinin asılı olduğu ifadəni tapmağa çalışır. Belə düşünə bilərik ki, bu γ (qamma-sağalma əmsalı) və infeksiyaya yoluxanların sayı ilə mütənasibdir. Asanlıqla görə bilərsiniz ki, xəstə olmasa (i=0) sağalan da olmayacaq, xəstənin sayı artıqca sağalma əmsalından asılı olaraq sağalan və ya ölən də artacaq.
ikinci tənlik isə yoluxmuş şəxslərin zamana görə dəyişim sürətinin asılı olduğu ifadəni təyin etməyə çalışır. Buradan da asanlıqla başa düşmək olar ki, yoluxanların sayı birinci tənlikdə əldə etdiyimiz ifadəyə bərabərdir, ancaq sağalanlar və ölənlər olduğuna görə onların sayı azalır. Ona görə də belə bir ifadə əldə etmiş oluruq.
Beləliklə bu adi differensial tənliklər sisteminin həllərii - s(t), i(t), r(t) funksiyaları bizim proqnozlarımız olacaq.(yəni bu funksiyalar gələcəkdə istənilən t zamanı üçün bizə yoluxanların sayını, sağalanların sayını və s. təqribi olaraq göstərəcək). Bu tipli sistemlər qeyri-aşkar (implicit) şəkildə olduğuna görə onların həlləri daha çox ədədi üsullarla (eyler üsulu, runger-kutta və s.) kompüterlərdə hesablanır. Hal-hazırda istənilən proqramlaşdırma dilində bir neçə sətir kod yazaraq bu sistem üçün təqribi həlləri tapa bilərsiniz. Hətta internetdə bunu hesablamağa və qrafik şəkildə təsvir etməyə yardım edən bir sıra online simulyatorlar da mövcuddur. buna baxa bilərsiniz: simulyator
.Bu sistemin ilk analitik həlli isə 2014-cü ildə bu məqalədə 2-ci hissədə (2.The exact solution of the SIR epidemic model) aydın olaraq göstərilib və maraqlananlar bura baxa bilərlər: sci-hub.now.sh/10.1016/j.amc.2014.03.030 məqalə
bir də qeyd edim ki, ümumi say n dəyişmir. yəni şübhəli sayı azaldıqca xəstə sayı artır, xəstə sayı azaldıqca da sağalan sayı artır və yekunda ümumi adam sayı sabit qalır. Daha rahat təsəvvür etmək üçün bu nümunəyə baxa bilərsiniz: karantində saxlanılan hər hansı bir şəhərdə müəyyən müddət ərzində şübhəli, yoluxan, sağalan sayı dəyişsə də, şəhər qapalı olduğundan ümumi şəhərin əhalisi həmişə sabit qalır:
aşağıda gördüyünüz qrafik bu sistemin sonsuz sayda mümkün olan həllərindən birini sizə əyani şəkildə - qrafiki olaraq göstərir.
ilkin vəziyyət: 1000 şübhəli, 0 yoluxan, 0 ölən və ya sağalan;
≈20 gün sonra: epidemiyanın ən pik həddə çatacağı proqnozlaşdırılır və ≈200 şübhəli, ≈600 yoluxan, ≈200 sağalan;
≈90 gün sonra: 0 şübhəli, 0 yoluxan, 1000 sağalan və ya ölən.
qrafikdən rahatlıqla görünür ki, model düzgün şəkildə problemi təsvir etməyə imkan verir, ancaq verdiyi nəticələr tam düzgün olmaya bilər. Ancaq ilkin məlumat nə qədər böyük həcmdə olarsa, deterministik modelin dəqiqliyi bir o qədər də artır. (eynilə "supervised machine learning alqoritm"-lərində olduğu kimi)
digər vacib bir nüans budur ki, bu tənliklərdən əldə olunan digər vacib bir rəqəm var ki, hansı ki, ona " basic reproduction number" - "elementar törəmə ədədi" deyilir və bizə epidemiyanın baş verib verməyəcəyi sualını cavablandırmağa imkan verir. Əgər bu rəqəm 1-dən kiçik və ya 1-ə bərabər olarsa epidemiya baş verməyəcək, ancaq 1-dən böyük olarsa epidemiya baş verəcək. bu rəqəm ikinci tənlikdən əldə edilir:
yuxarıda gördüyünüz ifadədəki ilkin nisbət (β/γ) r0 ilə işarə olunur və bu nisbətə (yoluculuq əmsalının sağalma əmsalına nisbəti) "elementar törəmə ədədi" deyilir:
bu rəqəmin mənası ondan ibarətdir ki, bu rəqəm 1 nəfərin xəstəliyi yoluxdura biləcəyəyi şəxs sayını təyin edir və hər xəstəlik üçün fərqlidir. aşağıda müxtəlif xəstəliklər üçün dəyəri göstərilmişdir:
ebola (r≈2) və sars(r≈4) üçün qrafiki olaraq belə təsvir edilib:
bu rəqəmin nə üçün epidemiyann varlığını təyin etdiyini bilmək istəsəniz, belə izah edə bilərəm ki, əgər yoluxanların sayı artarsa - epidemiya baş verərsə, yəni ikinci tənlik 0-dan böyük olarsa, bunun baş verməsi üçün "elementar törəmə ədədi" aşağıdakı şərti ödəməldir (bütün insanların sayının ilkin vəziyyətdə olan şübhəlilərin sayına nisbətindən böyük olmalıdır):
əks halda isə epidemiyanın baş verməməsi üçün:
Bu modelin üzərində qurulan digər daha mürəkkəb modellər də mövcuddur. Bəziləri ölənləri və doğulanları, bəziləri vaksinasiya olunanları da nəzərə alır. Aşağıda bəzilərini görə bilərsiniz:
məsələn, aşağıda msir modeli üçün qurulan tənliklər sistemini görə bilərsiniz. hansı ki, anadangəlmə immun sistemi də nəzərə alınır:
Hal-hazırda baş verməkdə olan "covid-19" pandemiyasına tətbiq olunan modellər və onların verdiyi proqnozlar barədə məlumat verəcəyəm. araşdırdığım modellərdən biri 2020-ci ilin yanvarın 26-a qədər olan məlumata əsasən, digəri 3 marta qədər olan ilkin statistikaya əsasən proqnozlar verməyə çalışıb.
Hər iki məqalə "seir" modelindən istifadə edib.birinci məqalədə " elementar törəmə ədədi" təqribi olaraq 2.8-3.3 aralığında hesablanıb.bu rəqəm əsaında o nəticəyə gəlinib ki, xəstəlik çin hökuməti tərəfindən aparılan tədbirlər ilə qaldırıa bilər.Əslində həmin dövrdə çin hökumətinin apardığı tədbirləri də nəzərə alaraq çin üçün düzgün nəticə verib. Hal-hazırda çində vəziyyət olduqca normaldır. Daha ətraflı məlumat üçün bu məqaləyə müraciət edə bilərsiniz: məqalə
ikinci məqalə (əslində "ümumdünya səhiyyə təşkilatı"-nın hesabatıdır), martına 3-ə kimi əldə olunan statistika əsasında, belə proqnozlaşdırılır ki, epidemiya ən pik həddinə mayın 23-də çatacaq və yoluxmuş şəxslərin cəmi sayı 425.066 milyon olacaq və həmin gündən etibarən isə yoluxanların sayında azalma müşahidə olunacaq.Artın sentyabrın 14-ü həmin gün üçün yoluxanların sayı 10 000 olacaq. Aşağıdakı qrafik isə həmin proqnozu göstərir. Qrafik ən pik həddi 23 maya təsadüf edir.Daha ətraflı məlumat üçün bu hesabata müraciət edə bilərsiniz: hesabat
Sonda qeyd edim ki, bu modellərin əsas məqsədlərindən biri görülən tədbirlərin effektivliyinin ölçülməsidir. Effektivliyin əsas meyarı isə "elementar törəmə ədədi"-nin minimuma endirilməsidir. Əgər bu rəqəm minimuma endirilərsə, yoluxanların sayının artımı daha aşağı sürətlə baş verəcək, və səhiyyə sistemi buna tab gətirə biləcək. Ancaq lazımi tədbirlər qabaqcadan görülməzsə, vəziyyət çox pis bir hal alacaq, və epidemiya qısa müddətdə başa çatsa da, səhiyyə sistemi bu qədər xəstəyə eyni vaxtda xidmət göstərməyə qabaqcadan nəzərdə tutulmadığına görə (hal-hazırda italiya, ispaniya, iranda olduğu kimi) yoluxanların sayı sürətlə artacaq, və çoxuna da lazım olan xidmət göstərilə bilinməyəcək.Aşağıdakı qrafik bu halları təsvir edir:
mənbə:
[1] https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/2001/2001.10530.pdf
[2] https://labblog.uofmhealth.org/rounds/how-scientists-quantify-intensity-of-an-outbreak-like-covid-19
[3] https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_modelling_of_infectious_disease
[4] https://www.researchgate.net/publication/265887931_Lecture_Notes_in_Mathematical_Epidemiology
[5] https://www.nature.com/articles/nrmicro1845
[6] https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC3710332/
[7] Exact analytical solutions of the Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model and of the SIR model with equal death and birth rates Harko, Francisco, Lobo, Mak, 2014
[8] https://en.wikipedia.org/wiki/Basic_reproduction_number
[9] applied calculus - hughes hallets and others, 2004
[10] https://introcs.cs.princeton.edu/java/94diffeq/
[11] https://www.who.int/bulletin/online_first/20-255695.pdf
[12] https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology
[13] https://en.wikipedia.org/wiki/Kermack%E2%80%93McKendrick_theory
Əlavə Resurslar:
burada sadə və əyani izahı verilib:
https://www.youtube.com/watch?v=qEKkJ5T4FGw
https://www.youtube.com/watch?v=Qrp40ck3WpI
burada isə qismən riyazi şəkildə izah edilir:
https://www.youtube.com/watch?v=NKMHhm2Zbkw
burada məsələ üzərindən izah olunur:
https://www.youtube.com/watch?v=06wnwSEHZPY
SiRS üzərindən izahı:
https://www.youtube.com/watch?v=Mgc93ztSDQ0
riyazi epidemiologiyanın əhəmiyyəti barədə TEDX söhbəti:
https://www.youtube.com/watch?v=eHlu6Vi_wxo
seir modelinin pythonda implementasiyası:
https://towardsdatascience.com/social-distancing-to-slow-the-coronavirus-768292f04296
seir modelinin matlabda implementasiyası:
https://www.researchgate.net/publication/339311383_Estimation_of_the_final_size_of_the_coronavirus_epidemic_by_the_SIR_model
qeydlər.
1. Differensial tənliyin analitik həlli deyildikdə "exact solution" nəzərdə tutulur.
2. Bəzi ədəbiyyatlarda "r"-in ya "removed"-i ya "recovered"-i və ya hər ikisini işarə etdiyi bildirilir. Ancaq bu xüsusilə "sir" modeli üçün bir əhəmiyyət daşımır, çünki onlar "oyundan" çıxanların sayını göstərir və modelin proqnozlarına təsir göstərmir. Çünki ölən və ya sağalan şəxs artıq heç kimi yoluxdura bilməz.
3. Sistemi həll etmək üçün ilk öncə əlinizdə olan ilkin statisitka əsasında yoluxuculuq və sağalma parametrlərini təyin etməlisiniz. Ondan sonra həll edib, proqnozları təyin edə edə bilərsiniz.