no local collapsing teoremi



əjdaha lazımdı   izlə   lələ   mən   googllalink

    1. 1982 ci ildə amerikalı riyaziyyatçı richard hamilton riççi axışı (ricci flow) tənliyini kəşf edir. ∂gij/∂t = −2Rij,
    burda gij - metrik tenzordur,; Rij - riççi tenzorudur.; tənlik adi istilik tənliyinin (heat equation) metrikə görə olan formasıdır. richard hamilton 1982 ci ildəki məqaləsində riççi axışını tətbiq edərək ilk əvvəl iki ölçülü kompakt səthlər üçün uniformasiya (uniformization) teoremini isbat edir; ardınca müsbət riççi əyriliyinə sahib üç ölçülü kompakt çoxobrazlıların (manifold) (başlanğıc [initial] metrik nə olursa olsun) s^3 kürəyə (üç ölçülü kürə) diffeomorfik olduğunu isbat edir. (üç ölçüdə diffeomorfizm/homeomorfizm arasında bir fərq yoxdur; dörd ölçüdə bu dəyişir; məsələn; dörd ölçülü çoxobrazlılar üçün topoloji (homeomorfizmin nəzərdə tutulduğu) poincare hipotezi həll edilsə də; diffeomorfik poincare hipotezi bu günə qədər həllsiz qalmaqdadır) başqa dillə desək başlanğıc metrikin standard (canonical) metrikə converge olduğunu isbat edir. ideya bəsitdir; hər hansı üçölçülü çoxobrazlının üzərində başlanğıc riemann metriki təyin olunur; sonra riççi axışının həllərinə baxılır. bəzi hallarda riççi axışı təkliklər (singularities) yaranmasına səbəb olur; bu zaman hamilton'un 97-98 ci illərdə yayımladığı məqaləyə görə bu təkliklər kəsilir (cutting off) ve riççi axışına davam edilir; nə qədər təklik yaransa eyni əməliyyat proseduru davam etdirilir və ən nəhayət sonlu zaman intervalında sonlu əməliyyatların olduğu isbat edildiyi ve riççi axışının həlli bilindiyi halda başlanğıc çoxobrazlının da topoloji strukturunu öyrənmiş oluruq.

    hamiltonun 1995 ci ildə yayımladığı məqalədə (formation of singularities in ricci flow) üç ölçülü hallarda bütün təklikləri araşdırır ve aralarından biri olan hipotetik cigar həlli heç cürə üstdəki əməliyyat proseduru ilə aşıla bilmir; sağ olsunlar kompyuter proqramistləri bu həlli canlandırıblar: https://www.youtube.com/watch?v=eMNm9t3NHtk (manifold project tərəfindən) bu birinci problem.

    ikinci problem isə əməliyyat prosedurunun sonlu olduğunu ve baslangic metrikin nəhayət sabit (canonical) metrikə yaxınlaşacağını isbat edə bilmir. üç il əvvəl yazdığım entry'da bəsit səhvlər var; məsələn demişəm ki, perelman həll olaraq əməliyyat nəzəriyyəsini ortaya atır; - səhvdir bu. hamilton onsuz eynisini dörd çoxobrazlılar üçün edir və hətta başlanğıc metrikin isotropic olduğu halda istənilən dörd çoxobrazlının dörd kürəyə (s^4) diffeomorfik olduğunu isbat edir; bunun üçün onsuz əməliyyat nəzəriyyəsindən istifadə edir. problem yaranan təkliklərin struktunu öyrənmək idi; ki 1990dan bəri hamilton onu etməyə çalışırdı. başqa bir riyaziyyatçı ivey ilə birlikdə hamilton-ivey teoremini isbat etmişdilər; hamilton-ivey teoreminə görə riççi axışı zamanı yaranan hər hansı təklik modeli mənfi olmayan əyriliyə sahib olmalıdır; təkliklərin üç modelə/qrupa bölündüyünü göstərmişdilər (type 1,2,3); və üstdə qeyd etdiyimiz hipotetik cigar həlli type-2 təklik olaraq sinifləndirilmişdi. daha sonra hamilton belə bir hipotez ortaya atmışdı: cigar həlli əslindəüç ölçülü çoxobrazlılarda riççi axışı zamanı ortaya çıxmamalıdır. ancaq bunu isbat edə bilmirdi.

    hamilton yavaş-yavaş bu təkliyin heç cürə rule out edilə bilməyəcəyinə ve proqramın bəlkə də heç vaxt tamamlanmayacağına inanmağa başlamışdı. amma perelmanin düz 7 ildir ki, bu problemə baş yorduğunu heç kəs bilmirdi. 2002 ci il 11 noyabr riyaziyyat tarixinin ən təsirli günlərindən biri yaşanacaqdı; həmin günün axşamı perelman ilk məqaləsini yayımlayacaqdı - the entropy formula for the ricci flow and its geometric applications

    entropiya statistik fizikada istifadə olunan bir anlayış olmasına baxmayaraq topologiyaya illər əvvəl (ve səhv etmirəmsə ki səhv etme ehtimalım boyukdu; huisken tərəfindən) daxil olub; amma iki anlayiş arasında ciddi fərqlər var. perelman ilk məqaləsində riççi axışını qradiyent axışı olaraq nəzərə alaraq başlayır; daha sonra riççi axışı üçün monoton entropiya düsturunu (perelman w-funksiyasi) isbat edir; bu entropiya riççi axışı zamanı ortaya çıxan təklikləri nəzarət altında saxlamağa kömək edir. bu yeni ideya sayəsində cigar həlli problemini aradan qaldırır. bu nəticə no local collapsing teoremi adlanir.

    istinadlar: https://arxiv.org/abs/math/0211159
    https://www.ams.org/publicoutreach/math-history/hap6-sevenmillenium.pdf
    https://arxiv.org/abs/math/0504478 (ricci flow with surgery on 4-manifolds)
    http://comet.lehman.cuny.edu/sormani/others/perelman/perelman.html

    perelmanın öz leksiyası (2003): http://comet.lehman.cuny.edu/sormani/others/perelman/perelmanI.pdf


sən də yaz!