7.ad günü paradoksu
fərz edək ki, siz 23 nəfərdən ibarət olan bir ofisdə işləyirsiniz. buradakı iki insanın ad gününün eyni vaxtı düşməsi ehtimalı nədir ?
p.s. fevralın 29-dan olmasını sikdir edirik
əhalinin sayı 366 olandan sonra, iki insanın eyni ad gününün olmasından statistik olaraq sığortalanmış oluruq. çünki fevralın 29-u sikdir etdiyimizdən, bütün mümkün hallar 365 idi. bu paradoksun cavabında gümün olunur ki, lap 57 insanı bir yerə yığsan, onlardan ikisinin ad gününün eyni gündə olması ehtimalı 99%-dir. bu necə baş verir ?
riyaziyyatçıların əlacı kəsiləndə baş vurduqları bir üsul var: (baxma: əksini fərz etmə üsulu). bu paradoksu da ondan istifadə edərək, izah edirlər. o zaman, fərz edək ki, ofisdə ən azı iki insanın ad günü eyni günə düşə bilməz.
iki insanın ad gününün eyni gündə olmaması ehtimalı:
365/365 x 364/365 = 99.72%
üç insanın ad gününün eyni gündə olmaması ehtimalı:
365/365 x 364/365 x 363/365 = 99.17%
dörd insanın ad gününün eyni gündə olmaması ehtimalı:
365/365 x 364/365 x 363/365 x 362/365 = 98.36%
uzun sözün kəsəsi, 23 nəfər üçün bu hesablama belə olacaq:
365/365 x 364/365 x 363/365 x .... x 344/365 x 343/365 = 49.27%
ahan, bu o deməkdir ki, bir halda ki, 23 nəfərdən heç birinin ad gününün eyni gündə olmaması ehtimalı 49.27%-dirsə, o zaman onlardan ikisinin ad gününün eyni gündə olması ehtimalı 50.73%-dir.
bu göstərici ofisdə işləyənlərin sayı 57 nəfər olana qədər davam edir.
p.s. çalışın elə edin ki, işlədiyiniz yerdə 23-dən az, 57-dən çox adam olmasın
2.0.999....=1
fundamental riyazi bilgilərə sahib olan insanın asanlıqla ayırd edə biləcəyi problem. halbuki, yenə də ağıl qarışdıran məsələ. misal üçün,
4.natural ədədlərin sayı qədər cüt ədədlər var
natural ədədlər 1, 2, 3, 4 .... və beləcə sonsuzadək saydığımız ədədlərdir. cüt ədədləri də, maşallah, hamı tanıyır. iki-iki artır: 2, 4, 6, 8, 10.... və.s. yəni bunlar da sonsuz saydadır. burdan belə nəticə çıxır ki, natural ədədlər cüt ədədlərdən sayca çoxdur. çünki onlar həm cüt, həm də tək ədədlərdən təşkil olunub. ancaq həqiqətənmi belədir ?!
qarşılılıqlı uyğunlaşdırma ilə natural ədədləri və cüt ədədləri yan-yana qoysaq, görərik ki, hər bir cüt ədədin yarı*
sevgili zad yox ha
sına bərabər olan natural ədəd var. misal üçün,
1↔2
2↔4
3↔6
4↔8
5↔10
. .
. .
. .
əgər bu cür məntiqlə düşünsək, deməli "sonsuz ədədlər sayılabiləndir" fikrini qəbul edirik. burada sayıla bilən sonsuz ədədlər çoxluğu meydana çıxmış olur. bu çoxluq həqiqi ədədlər və qarışıq ədədlər çoxluğunu özündə birləşdirən sayıla bilməyən çoxluqdan ayrılır. çünki bu zaman natural ədədlər və həqiqi ədədlərlə birqiymətli qarşılıqlı uyğunlaşma yaratmaq olmaz. yenə də, sonsuzluq anlayışı burada köməyimizə çatır.
3. 1üstü sonsuzun necə olur ki, 1 eləmir?
cavab isə çox sadədir.
misal: (1+a/x)^x ədədində x yerinə sonsuz versək, mötərizə içərisindəki a/x getdikçə 0- a yaxınlaşacağ, nəticədə ədədin özü 1 ə yaxınlaşır. (şüphəsiz ki, 1ə sağdan yaxınlaşır) mötərizənin qüvvəti də sonsuza yaxınlaşır. həəəə burda beyin uje wtf deyir. çünki sırf 1 üstü sonsuz olsaydı nəysə o 1 olacağ əlbəttə, amma ədəd özü 1-ə qüvvəti sonsuza yaxınlaşır. nəticədə ortaya zibil kimi bir ədəd çıxır.
6.benford qanunu 1 rəqəmi, rəqəmlərin zaman anlayışının 30%-ində rast gəlinir. ilk dəfə 1938-ci ildə fizik frenk benford tərəfindən kəşf olunmuşdur. bu bir növ, rəqəmlərin rast gəlinmə sıxlığı qanunu kimi düşünülə bilər. buna oxşar hadisə əlifbada da baş verir. buna görə bir mətndə ən çox rast gəlinən hərf e hərfidir. kriptoqrafiya sevənlər bunu yaxşı bilərlər. nə isə, haqqında danışacağımız qanun rəqəmlər haqqındadır. ona görə ora yönələk.
benford qanununun üstünlüyü ondadır ki, bir növ fırıldaqçıları ifşa etməyə imkan verir. 2009-cu ildə iranda prezident seçkilərinin nəticələri açıqlandığı zaman amerikadan olan bir qrup statistik bu qanuna əsaslanaraq, seçkilərin saxtalaşdırıdığını iddia etmişdi.
1. düz olduğunu düşündüyün halda, səhv çıxaraq, səni göt ayağında qoyan problemlər. daha sonra, görürsən ki, səhv çıxan cavab da düz imiş. sofizm, paradoks, idiosinkrizasiya - nə bilim, daha nə ad verirsinizsə, ondan.
10.xarab olmuş su qızdırıcısı problemi
"su qızdırıcım xarab olduğu üçün, onu bir adama aparıb göstərdim. o da ehtiyat hissələrindən istifadə etməklə, su qızdırıcısını təmir etdi. buna görə ona pul ödədim."
həmin bu adam mühasib yoxsa mühasib-santexnikdir *
bu da yəqin təzə peşədir
?
problemin cavabı belədir ki, bu adam böyük ehtimal mühasibdir. necə ?!
deməli, problemin qoyuluş şəkli elədir ki, sən intuitsiyanla inanırsan ki, bu adam santexnikdir. ancaq əgər bir adam həm mühasib, həm də santexnikdirsə, o həm də mühasibdir. belə deyək ki, mühasib-santexniklər çoxluğu mühasiblərin alt çoxluğudur. bunu sadə dillə belə izah etmək olar ki, mühasiblər və santexniklər ayrı-ayrı çoxluqlardır. mühasib-santexniklər onların kəsişməsində yerləşən çoxluqdur. bu kəsişən çoxluq ayrı-ayrı həm mühasib, həm də santexnik çoxluqlarının alt çoxluğudur. deməli, su qızdırıcısını təmir edən mühasibdir.
çox maraqlıdır ki, mühasiblər nə zamandan bəri santexnika işinə girişiblər ? yəqin elə bu problem ortaya çıxan zaman
11.bertrandın qutusu paradoksu
mənim üç qutum var. hər birinin iki tərəfi var. birində iki qızıl külçə, digərində iki gümüş iki külçə, üçüncüsündə həm qızıl, həm də gümüş külçə var. bir qutu seçirsən və bir tərəfini açırsan. əgər orda qızıl külçə varsa, digər tərəfdəki külçənin də qızıl olması ehtimalı nədir ?
ilk baxışdan cavabın 1/2 olduğu güman edilir. çünki içində qızıl külçə olan 2 qutu olduğunu nəzərə alaraq və artıq biri artıq açıldığından, *
ağlınıza psi şeylər gəlməsin
demək ki, yerdə 2 qutudan biri qalır və cavab da 1/2-dir. doğrudurmu ?! xeyr.
məsələni komplikeytid vəziyyətdən çıxarmaq üçün, qızıl külçələri q1, q2, q3 gümüş külçələri g1, g2 və g3 kimi işarə edək. yəni qutularda düzülüş belə olsun:
1.qutu
q1|q2
2.qutu
g1|g2
3.qutu
g3|q3
indi isə bütün mümkün halların düzülüşünü çıxaraq:
ilk seçim digər tərəf
- q1 -q2
- q2 -q1
- g1 -g2
- g2 -g1
- q3 -g3
- g3 -q3
ilk seçimdə qızılın olduğu halları nəzərə alsaq, ehtimalın heç də 1/2 olduğu deyil, 2/3 olduğunu görərik.
)