1. 1. 'gauge' nəzəriyyəsi
20-ci əsrdən bu yana fiziklər mikroskopik səviyyədə elementar zərrəcikləri öyrənməyə çalışırlar. kvant
mexanikasında zərrəciklərin mövqe və sürətləri hilbert fəzasında və kommutativ olmayan operatorlarla təyin olunur.
19-cu əsrin sonlarında və 20-ci əsrin əvvəllərində fizikaya yeni anlayış daxil oldu – sahə. elektrik və maqnit sahələri
maksvel tənlikləri, qravitasiya isə eynşteyn sahə tənlikləri ilə ifadə olunurdu. 30-cu illərdə kvant sahə nəzəriyyəsi
ortaya çıxdı – kvant sahə nəzəriyyəsi elementar zərrəcikləri 'gauge' nəzəriyyələri ilə açıqlayır. gauge nəzəriyyəsinə
ən sadə nümunə kimi – maksvelin elektromaqnetizm nəzəriyyəsini göstərmək olar. elektromaqnetizmin gauge
simmetriya qrupu abelian olan u(1) qrupudur. gauge nəzəriyyəsinə görə a – u(1) qrupu üzərində gauge əlaqəsidir
və məkan-zamanda bir-form olaraq təyin olunur. iki form isə əyrilik yaxud elektromaqnit sahə tenzorudur : f=da
bu zaman maksvell tənliklərini 0=df=d f kimi yazmaq mümkündür. : hodge ikilisidir. 1950-ci illərdə isə ∗ ∗
yang-mills nəzəriyyəsi kəşf olundu. nəzəriyyəyə görə u(1) qrupu kompakt g – gauge qrupu ilə ilə təyin olunur.
yang-mills abelian olmayan gauge nəzəriyyəsidir.
f = da + a a və 0 = daf = da f yang-mills tənlikləridir. laqranjı isə belə yazmaq olar : l = 1/4g ∧ ∗ int
tr f f ∧∗
laqranj düsturunda olan tr – lie cəbri g' də kvadratik formdur. yang-mills tənlikləri xətti olmayan maksvel
tənliklərdir.
1960-70 ci illərdə salam-glashow və weinberg tərəfindən abelian olmayan elektrozəif gauge nəzəriyyəsi kəşf
olundu : h = su(2) × u(1) – su(2) və u(1) lie qruplarıdır. eyni zamanda abelian olmayan və nüvə qarşılıqlı
təsirlərini açıqlayan g=su(3) gauge nəzəriyyəsi kəşf olundu. bu nəzəriyyə qcd – kvant xromodinamika adlanır.
kvant xromodinamika güclü qarşılıqlı təsiri nəzəri və təcrübi olaraq açıqlasa belə ortada bir neçə problem var : δ>0
olduğu halda kütlə itkisi olmalıdır.
2. problem
hər hansı kompakt g qrupu üçün, dörd ölçülü evklid həndəsəsində yang-mills nəzəriyyəsinin kütlə
itkisinin ∆ > 0 olduğunu isbat edin.
yang-mills nəzəriyyəsi və kütlə itkisi hipotezi kley riyaziyyat institutunun 7 minillik problemindən biridir.

hipotez
ed.witten və a.jaffe tərəfindən araşdırılır. aşağıda l.d.faddaev məqalələrindən istifadə edərək hipotezin
riyaziyyatını araşdıracayıq.

yang-mills sahəsi.

yang-mills sahəsi termini riyazi olaraq fiber bağlantı üzərində gauge əlaqəsi ilə birlikdə g gauge qrupu deməkdir. e
prinsipial bağlantı olduğu halda
e=m4×g – burda m4 dörd ölçülü minkovski fəzasıdır. yang-mills sahəsi isə m4 üzərində bir-form a'dır.
a(x) = a a µ (x)t a dxµ
burda x µ üçün µ = 0,1, 2, 3 kordinatlarıdır. (m4 üzərində) t a üçün isə a=1,..., dim g dir.
f = f a µν t a dxµ dxν - dən ∧
f a µν = ∂µaν − ∂νaµ + f abca b µa c ν nəticəsini alırıq.
ilk yang-mills tənliklərinə baxsaq : a = tr f f = f a µνf a µν d 4x (dörd form) ∧ ∗
f hodge ikilisidir (f-yə görə) ∗
s = 1/4g(kvadratı) int m4 a - g(kvadrati) sabitdir.

üstdəkilər yang-mills və kütlə itkisini tərif edən tənliklərdir.

yazı problem haqqında elementar məlumatlardan ibarətdir.